Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri dari bilangan :
• Bulat positif (1, 2, 3, 4, 5, …)
• Nol : 0
• Bulat Negatif ( …,-5,-4,-3,-2,-1)
Himpunan Bilangan bulat
A = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … }
Garis bilangan bulat :
Di dalam bilangan bulat terdapat bilangan genap dan ganjil :
• Bilangan bulat genap { …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, … }
Bilangan yang habis dibagi dengan 2
• Bilangan bulat ganjil { …, -5, -3, -1, 1, 3, 5, … }
Bilangan yang apabila dibagi 2 tersisa -1 atau 1
Menyatakan Hubungan antara Dua Bilangan Bulat
Urutan bilangan bulat pada garis bilangan dengan arah mendatar ditunjukan seperti gambar berikut.
Jika suatu bilangan lebih dari bilangan yang lain, makan pada garis bilangan, bilangan itu terletak di sebelah kanan. Bilangan 5 terletak disebelah kanan 3, maka 5 > 3.
Jika suatu bilangan kurang dari bilangan yang lain, maka pada garis bilangan, bilangan itu terletak disebelah kiri. Karna -4 terletak disebelah kiri -1, maka -4 < -1.
Semua bilangan bbulat negatif terletak disebelah kiri 0. Jadi, jika a < 0 berarti a adalah bilangan negatif. Sebaliknya semua bilangan bulat positif terletak disebelah kanan 0. Jadi, jika b > 0 berarti b adalah bilangan positif.
Penjumlahan Bilangan Bulat
Untuk sembarang bilangan bulat a dan b berlaku :
1. –a + (-b) = -(a+b)
2. –a + b = -(a-b) , jika a lebih dari b
3. –a + b = b –a , jika b lebih dari a
Penjumlahan Bilangan Bulat dan Sifat-Sifat nya
Sifat Komutatif (Pertukaran)
Perhatikan daftar penjumlahan berikut yang menunjukan hasil penjumlahan dari setiap pasangan bilangan bulat -3,-2,-1,0,1,2, dan 3.
Daftar Penjumlahan
Letak bilangan-bilangan pada daftar hasil penjumlahan ternyata simetris terhadap diagonal utama.
Ternyata hasil penjumlahan dua bilangan bulat selalu memperoleh hasil yang sama walaupun kedua bilangan tersebut dipertukarkan tempatnya. Sifat ini disebut sifat komutatif pada penjumlahan.
Sifat komutatif penjumlahan:
A + B = B + A
Contoh:5 + 4 = 4 + 5 = 9
Unsur Identitas pada Penjumlahan
Perhattikan bilangan-bilangan berikut
0 + (-2) = -2
-1 + 0 = -1
0 + 4 = 4
Dari penjumlahan-penjumlahan bilangan diatas, ternyata jika 0 ditambahkan dengan suatu bilangan atau suatu bilangan ditambahkan dengan 0 maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri, 0 disebut unsur identitas pada penjumlahan.
Unsur identitas:
A + 0 = 0 + A = A
Sifat Asosiatif (Pengelompokan)
(A + B) + C = A + (B+C)
Contoh:
(2 + 3) + 4 = 2 + (3 +4) = 9
Sifat Tertutup
Perhatikan penjumlahan-penjumlahan berikut ini
-17 + (-5) = -22; -17 dan -5 adalah bilangan bulat
-22 juga bilangan bulat
-28 + 12 = -16; -28 dan 12 adalah bilangan bulat
-16 juga bilangan bulat
Dari uraian diatas ternyata penjumlahan bilangan bulat selalu menghasilkan bilangan bulat juga. Sifat seperti ini disebut sifat tertutup.
Pengurangan Bilangan Bulat
3.1 Pengurangan dan Sifat-sifatnya
Untuk sembarang bilangan bulat berlaku :
a – b = a + (-b)
a – (-b) = a + b
contoh:
8 – 5 = 8 + (-5) = 3
7 – (-4) = 7 + 4 = 11
Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku
a – b ≠ b - a
(a – b ) – c ≠ a – ( b – c )
Contoh :
7 – 3 ≠ 3 -7
4 ≠ - 4
(9 – 4) – 3 ≠ 9 – (4-3)
2 ≠ 8
Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat :
a – 0 = a dan 0 – a = -a
Bersifat tertutup, yaitu bila dua buah bilangan bulat dikurangkan hasilnya adalah bilangan bulat juga.
a dan b ∈ bilangan bulat maka a - b = c ; c ∈ bilangan bulat
contoh :
6-8 = -1 ; 7,8,-1 ∈ bilangan bulat
Perkalian Bilangan Bulat
3.1 Perkalian dan Sifat-sifatnya
a x b = ab
hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif.
Contoh: 7 x 6 = 6 x 7 = 42
a x –b = -ab
hasil pekalian bilangan bulat positif dan negatif hasilnya adalah bilangan bulat negatif.
Contoh : 3 x -4 = -12
-a x -b = ab
hasil perkalian dua bilangan negatif adalah bilangan bulat positif.
Contoh : -4 x -5 = 20
Sifat Asosiatif
(a x b) x c = a x (b x c)
Contoh: (2 x 3) x 4 = 2 x (3x4) = 24
Sifat komutatif
a x b = b x a
Contoh : 5 x 4 = 4 x 5 = 20
Sifat distributif
a x (b+c) = (a x b ) + (a x c)
Contoh : 3 x ( 2 +6) = (3 x 2) + (3 x 6) = 24
Unsur identitas untuk perkalian
- hasil perkalian bilangan bulat dengan nol hasilnya adalah bilangan nol
a x 0 = 0
- hasil perkalian bilangan bulat dengan 1 hasilnya adalah bilangan bulat itu juga
a x 1 = 1 x a = a
6. Bersifat tertutup
Jika dua bilangan bulat dikalikan maka hasilnya adalah bilangan bulat juga
a x b = c ; a, b, c ∈ bilangan bulat
Pembagian Bilangan Bulat
4.1 Pembagian dan Sifat-sifatnya
1. Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan positif
(+) : (+) = (+)
Contoh : 8 : 2 = 4
2. Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan positif
(-) : (-) = (+)
Contoh : -10 : -5 = 2
3. Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda adalah bilangan negatif
(+) : (-) = (-)
(-) : (+) = (-)
Contoh :
6 : -2 = -3
-12 : 3 = -4
4. Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak terdefinisi
a : 0 tidak terdefinisi (~)
0 : a 0 (nol)
Contoh :
5/0 = ~ (Tidak terdefinisi)
5. Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif
a : b ≠ b : a
(a:b):c ≠ a : (b:c)
Contoh :
4 :2 ≠ 2 : 4
(8:2) : 4 ≠ 8 : (2:4)
Bersifat tidak tertutup
Jika dua bilangan bulat dibagi hasilnya belum tentu bilangan bulat juga
contoh :
6 : 2 = 3 (bilangan bulat)
7 : 2 = 3 1/2 bukan bilangan bulat (bilangan pecahan)
Pemangkatan bilangan bulat
a^n= a x a x a x … x a
Sejumlah n faktor
Contoh :
4^3 = 4 x 4 x 4 = 64
3^5= 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
Sifat-sifat Bilangan Berpangkat
Perkalian Bilangan Berpangkat
Untuk sembarang bilangan bulat a dengan pangkat m dan n selalu berlaku
a^m x a^n=a^(m+n)
Pembagian
Untuk sembarang bilangan bulat a dengan pangkat m dan n selalu berlaku
a^m:a^n=a^(m-n)
Pemangkatan Bilangan Berpangkat
Untuk sembarang bilangan bulat a dengan pangkat m dan n selalu berlaku
〖(a〗^m )^n=a^mxn
Akar BilanganBulat
• Akar pangkat dua dan akar pangkat tiga bilangan bulat
1. Akar kuadrat (akar pangkat dua)
Akar kuadrat dari bilangan positif b adalah bilangan positif √b yang jika dikuadratkan akan menghasilkan b. Akar kuadrat dari 0 adalah 0, atau √0=0.
Jika a^2=b, maka nilai √(b=a) dengan a,b > 0
Contoh:
√225 = √((3x75) )
=√3x3x25
=√3x3x5x5
=√(3^2 x5^2 )
=3x5=15
2.. Akar Pangkat Tiga
Akar pangkat tiga dari bilangan b adalah bilangan ∛b yang jika dipangkatkan 3 akan menghasilkan b.
Jika a^3=b maka nilai ∛b=a
Contoh
∛125=∛(5x5x5=∛(5^3 )) =5
DAFTAR PUSTAKA
Adinawan, M.Cholik, Matematika untuk SMP/MTs Kelas VII. Ciracas: Penerbit Erlangga. 2002
http://directory.umm.ac.id/Labkom_ICT/math/sem_2/Kapita%20SMP/BAB-I-BILANGAN-BULAT.pdf
